الدوال المركبة والعكسية
تكون الدالة قابلة للعكس
إذا كانت ذات تناظر أحادي ولكل قيمة مدخلة قيمة وحيدة مخرجة، أي:
المفاهيم التي ساعدتني لفهم الدالة العكسية:
-
المجال والمدى، فيكون مجال الدالة الأصلية هو مدى الدالة العكسية
والعكس صحيح.
-
متباينة وأحادية أو ذات تناظر أحادي، وهي دالة واحد لواحد أي لكل عنصر
في المجال صورة وحيدة مقابلة لها.
-
غامرة أو فوقية، وفيها المجال = المدى.
-
اختبار الخط الأفقي، فإذا قطع الخط البياني للدالة بنقطة واحدة، فإن
معكوسها هو دالة أيضاً، أما إذا قطعها بأكثر من نقطة فمعكوس الدالة ليس دالة.
-
محور الانعكاس، وهو المستقيم الذي يعد بمثابة مرآة ينعكس حوله الخط
البياني للدالة والخط البياني لمعاكستها.
أتخيل الدالة البسيطة التالية:
ونحصل على معاكستها :
ويكون المستقيم y=x هو المحور الذي تنعكس حوله الدالة ومعاكستها،
وهكذا نستطيع إيجاد أي نقطة واقعة على التمثيل البياني للدالة المعاكسة بتبديل
إحداثيي النقطة المقابلة لها على التمثيل البياني لدالتنا الأصلية.
 |
لرسم الدالة في مثالي هذا أتبع الاستراتيجية التالية: أحدد في البداية
على شبكة محاور الإحداثيات المقطع الصادي في الدالة f(x)=2x وقيمته صفر، وتكون هذه
النقطة الاولى للمستقيم وهي مركز الأصل، لأعين النقطة الثانية أستخدم الميل بشكل
كسر وهو
، أتجه للأعلى خطوتين وفقاً للرقم في البسط ثم
إلى اليمين خطوة واحدة وفقاً للرقم في المقام وهكذا تحددت النقطة الثانية
أصل بين النقطتين لأحصل على مستقيم الدالة الأصلية،
لأحصل على مستقيم الدالة المعاكسة يمكن أن أتبع نفس الطريقة السابقة، أو أن أحدد نقطتين
من الدالة الأصلية وأبدل إحداثياتها، سأختار النقطة الأولى مركز الأصل
والنقطة الثانية هي لتصبح
، أصل بين النقطتين لأحصل على التمثيل البياني
للدالة المعاكسة.
كمثال حقيقي لنشاط يومي للدالة العكسية أذكر ما يلي: تريد ماريا تنسيق باقة أزهار مكونة من ٢٠ زهرة، ثمن الزهرة
البيضاء ٣$، وثمن الزهرة الوردية ٥$، فأكتب الدالة التي تمثل الكلفة الكلية لشراء
الأزهار كما يلي: حيث تمثل x عدد الأزهار الوردية.
ونحصل على الدالة العكسية لها بهذا الشكل:
تنتج الدالة المركبة من تركيب دالتين ربما تكون
إحداها خطية والأخرى تربيعية مثلاً، وهذا الدمج ليس جمع أو طرح أو ضرب أو قسمة،
وإنما هو ناتج عن تركيب، يلخص بأنه إيجاد قيمة الدالة عند قيمة دالة أخرى، ويتكون
مجاله من جميع قيم x في مجال الدالة g على أن تكون g(x) في مجال f. (رياضيات، ثالث ثانوي،
د.ت)
بعض المفاهيم الإضافية المتعلقة بالدالة
المركبة:
-
القيود والمجال، فعند وجود قيود على مجال f أو مجال g فإن مجال الدالة المركبة يكون مقيداً
بكل قيمx في مجال g التي تكون صورها موجودة في
مجال f.
-
تركيب، مركبة، تبديلية، وفق دراستي لهذه الوحدة فإن تركيب الدوال هو
عملية غير تبديلية.
أتخيل أبسط تركيب للدوال كما يلي:
بما أن مجال كل من g,f هو مجموعة الأعداد الحقيقية
فإن مجال fog هو 
لرسم الدالة المركبة، أرسم الدالة الأولى وهي تربيعية بشكل قطع مكافئ،
بتحديد النهاية الصغرى عند محور التماثل وهي هنا نقطة الأصل، المقطع الصادي لدينا
صفر فلا يتقاطع القطع مع محور التراتيب، أفرض قيم ل x وبتربيعها أحصل على التراتيب وأرسم
القطع للدالة الأولى، الدالة الثانية خطية يمثلها خط مستقيم أحدد النقطة الأولى وهي
المقطع الصادي(-٣) ولإيجاد النقطة الثانية نتحرك وفق الميل١/١
فأتحرك للأعلى خطوة وإلى يمينها خطوة لأحصل
على النقطة الثانية، أصل بين النقطتين لأحصل على المستقيم الممثل للدالة الثانية.
أما الدالة المركبة فهي من الدرجة الثانية ويمثلها قطع مكافئ أحصل عليه
بنفس الطريقة التي اتبعتها في رسم منحنى الدالة الأولى، وفيه المقطع الصادي ٩ وهي
النقطة الأولى، النقطة الثانية هي النهاية الصغرى (3,0) ونحصل عليها بحساب الميل
وبإيجاد النقطة المقابلة للمقطع الصادي نحصل على
نقطة ثالثة، كما أنه بإمكاننا تعويض قيم افتراضية للفواصل في الدالة نحصل على
التراتيب فنحدد عدة نقاط مساعدة وبالوصل بينها بالمنحنيات نكون قد رسمنا القطع
المكافئ.
 |
وكمثال للدالة المركبة: مكتبة
خاصة لبيع الكتب والقرطاسية تقدم خصم لطلاب الجامعات مقداره ٢٠% ،حصلت رشا على
قسيمة شرائية قيمتها 10$ تكريماً من جامعتها لتفوقها في الفصل الدراسي، بلغت قيمة المشتريات
عند زيارتها للمكتبة ١٥٠$ ، لحساب التكلفة بعد الخصومات نفرض السعر x ، فتكون الدالة المعبرة
عن التكلفة بعد خصم ٢٠% أي احتساب ٨٠% فقط من السعر كما يلي:
ونكتب الدالة المشيرة إلى خصم قيمة القسيمة الشرائية كما يلي:
فتكون الدالة المركبة هكذا:
