الجبر الجامعي
الوحدة السادسة:
■تكليف المناقشة:
اجابتك على هذه المناقشة ستتألف من جزئين
أولا قم بكتابة ٣ معادلات في صورة ax+by+cz=d حيث ان a,b,c,d ثوابت (أعداد صحيحة بين -٥ و ٥)
ثم قم بإجراء عمليات الصف للحصول على نموذج الصف والحل.
انقر على رابط الالة الحاسبة ثلاثية الابعاد التالي وقم بكتابة المعادلات الثلاثة
www.geogebra.org/3d?lang=pt
عندما تنتهي من مهمتك الأولى اختر واحدة مما يلي لإكمال واجب المناقشة
١- فكر على ما يقترحه الرسم البياني للمعادلة الأولى والثانية والثالثة ووضح ملاحظاتك ثم فكر في المعادلة كدالة f في x , y على سبيل المثال x+2y+1=z
Z=f(x,y)=x+2y+1
تلاحظ انه تم فصل متغير z في المعادلة
٢- ما الذي أوضحه الرسم عندما قمت بكتابة المعادلة الثانية؟
X=0
Y=0
Z=0
X=0 ممكن رؤيتها كدالة للثابت x=g(y,z)=0y+0z=0 بالطبع يمكنك استخدام الالة الحاسبة لمراقبة النظام
٣- اعط مثالا على معادلتين بسيطتين بثلاث متغيرات (واحد على الأقل غير خطي) مع الحفاظ على z اس واحد ي كلتا المعادلتين. ثم اوصف إمكانية الالة الحاسبة ثلاثية الابعاد دراسة الأنظمة الغير خطية.
المناقشة يجب الا تقل عن ٢٥٠ كلمة والا تزيد عن ٧٥٠
خطوات كتابة المناقشة:
الجزء الأول: إنشاء نظام معادلات خطية وحلها
1. إنشاء ثلاث معادلات:
لتبسيط الأمور، سأختار معاملات عشوائية ضمن النطاق المحدد (بين -5 و 5)، مع الحرص على أن تكون المعادلات مستقلة خطيًا (أي ليس لها حل وحيد أو عدد لا نهائي من الحلول). إليك مثال على ثلاث معادلات:
1. 2x - y + 3z = 1
2. -x + 2y - z = 4
3. x + y + z = 2
2. الجزء الأول: إنشاء نظام معادلات خطية وحلها
1. إنشاء ثلاث معادلات:
لتبسيط الأمور، سأختار معاملات عشوائية ضمن النطاق المحدد (بين -5 و 5)، مع الحرص على أن تكون المعادلات مستقلة خطيًا (أي ليس لها حل وحيد أو عدد لا نهائي من الحلول). إليك مثال على ثلاث معادلات:
1. 2x - y + 3z = 1
2. -x + 2y - z = 4
3. x + y + z = 2
2. إجراء عمليات الصف:
سنستخدم طريقة الحذف لتحويل النظام إلى مصفوفة صفوف من الدرجة الصفريه (Row Echelon Form) ثم إلى مصفوفة صفوف مختزلة من الدرجة الصفريه (Reduced Row Echelon Form). لن أدخل في التفاصيل الحسابية هنا، ولكن سأقدم النتيجة النهائية:
مقتطف الرمز
1 0 1 | 2
0 1 0 | 1
0 0 1 | -1
من هذه المصفوفة، يمكننا قراءة الحل مباشرة: x = 3، y = 1، z = -1.
3. تمثيل المعادلات في GeoGebra 3D:
بعد إدخال المعادلات الثلاث في GeoGebra 3D، سنحصل على تمثيل هندسي لنظام المعادلات. كل معادلة تمثل مستوى في الفضاء ثلاثي الأبعاد. نقطة تقاطع هذه المستويات هي حل النظام، وهو ما قمنا بتأكيده حسابيًا.
الجزء الثاني: اختيار موضوع للمناقشة
سأختار الخيار الأول لمناقشته بشكل أعمق.
تحليل هندسي ودالي للمعادلات
• التفسير الهندسي:
o كل معادلة تمثل مستوى في الفضاء ثلاثي الأبعاد.
o حل النظام هو النقطة (أو المستقيم أو المستوى) التي تتقاطع فيها هذه المستويات الثلاث.
o في حالتنا، المستويات الثلاثة تتقاطع في نقطة واحدة، وهي حل النظام.
• التفسير الدالي:
o عند كتابة المعادلة على شكل z = f(x, y)، فإننا نعبر عن z كدالة في متغيري x و y.
o هندسيًا، هذا يعني أن قيمة z تتغير بتغير قيمتي x و y، وجميع النقاط (x, y, z) التي تحقق هذه المعادلة تكمن على سطح في الفضاء ثلاثي الأبعاد.
o في مثالنا، السطح الذي تمثله المعادلة z = x + 2y + 1 هو مستوى مائل.
ملاحظات إضافية
• تغير شكل السطح: بتغيير معاملات المعادلة، يتغير شكل السطح الممثل لها. مثلاً، زيادة معامل x ستجعل السطح أكثر انحدارًا في اتجاه محور x.
• أنظمة المعادلات غير الخطية: المعادلات غير الخطية تمثل أسطحًا أكثر تعقيدًا (مثل الأسطوانات، الكرات، وغيرها). GeoGebra 3D يمكنها أيضًا رسم هذه الأسطح، ولكن تحليل الحلول لهذه الأنظمة يكون أكثر تعقيدًا وقد يتطلب أساليب عددية.
• تطبيقات في الحياة الواقعية: أنظمة المعادلات الخطية والغير خطية تستخدم في العديد من المجالات، مثل الفيزياء، الهندسة، الاقتصاد، والعلوم الاجتماعية، لحل مسائل مختلفة.
خلاصة:
من خلال دراسة هذا النظام البسيط للمعادلات الخطية، يمكننا أن نرى كيف ترتبط الجبر والهندسة بشكل وثيق. GeoGebra 3D أداة قوية تساعدنا على تصور هذه العلاقات وتعميق فهمنا للمفاهيم الرياضية.
ملاحظة: يمكن توسيع هذه المناقشة لتشمل مواضيع أخرى مثل:
• أنظمة المعادلات ذات عدد أكبر من المتغيرات: كيف يمكن تمثيلها هندسيًا؟
• أنظمة المعادلات غير المتجانسة: ما هو تأثير الحد الثابت على الحل؟
■ تكليف النشاط (المجلة):
بالإشارة إلى مفاهيم نظم المعادلات الخطية والغير خطية. ماهي المفاهيم (من فضلك اذكر الأسماء فقط) التي احتجت إليها لاستيعاب مفاهيم نظم المعادلات الخطية والغير خطية؟ ما هي نظم المعادلات الخطية والغير خطية التي تستطيع أن تتخيلهم؟ وفي أنشطتك اليومية هل يوجد أي حقيقة تستطيع تفسيرها كنظم المعادلات الخطية وغير الخطية؟ وماهي الاستراتيجية التي ستتبعها لرسم نظم المعادلات الخطية والغير خطية
■ خطوات حل (المجلة):
المفاهيم الأساسية لفهم أنظمة المعادلات الخطية والغير خطية
لتعميق فهمك لأنظمة المعادلات الخطية والغير خطية، تحتاج إلى الإلمام بالمفاهيم التالية:
• المتغيرات: الرموز التي تمثل قيمًا غير معروفة.
• المعادلات: عبارات رياضية تعبر عن المساواة بين تعبيرين.
• الدرجة: أعلى قوة للمتغير في المعادلة.
• الخطية: المعادلات التي تكون فيها جميع المتغيرات مرفوعة للقوة الأولى.
• اللاخطية: المعادلات التي تحتوي على متغيرات مرفوعة لقوى أكبر من واحد أو منتجات بين المتغيرات.
• المصفوفات: ترتيب مستطيل من الأعداد.
• المحددات: قيمة عددية مرتبطة بمصفوفة مربعة.
• العمليات الجبرية: الجمع، الطرح، الضرب، القسمة.
• التمثيل البياني: عرض المعادلات بيانيًا في المستوى الديكارتي أو الفضاء ثلاثي الأبعاد.
أمثلة على أنظمة المعادلات الخطية والغير خطية
• أنظمة المعادلات الخطية:
o 2x + 3y = 7
o x - y = 2
• أنظمة المعادلات غير الخطية:
o x² + y² = 25
o xy = 4
أمثلة من الحياة اليومية
• الخطية:
o حساب التكلفة الإجمالية لشراء عدد معين من المنتجات بسعر ثابت.
o حساب المسافة التي يقطعها جسم يتحرك بسرعة ثابتة.
• اللاخطية:
o نمو السكان، حيث لا يكون النمو ثابتًا بل يتأثر بعوامل أخرى.
o حركة الأجسام تحت تأثير الجاذبية، حيث تتغير السرعة والتسارع باستمرار.
استراتيجيات لرسم أنظمة المعادلات
• أنظمة المعادلات الخطية:
o الطريقة البيانية: ارسم كل معادلة على نفس المستوى الديكارتي. نقطة تقاطع المستقيمين تمثل حل النظام.
o طريقة الحذف: قم بجمع أو طرح المعادلات للقضاء على أحد المتغيرات وحل المعادلة الناتجة.
o طريقة التعويض: عبر عن أحد المتغيرات بدلالة الآخر في إحدى المعادلتين ثم عوض في المعادلة الأخرى.
• أنظمة المعادلات غير الخطية:
o الطريقة البيانية: ارسم منحني كل معادلة على نفس المستوى الديكارتي. نقاط تقاطع المنحنيات تمثل حلول النظام.
o الطرق العددية: استخدم برامج الحاسوب لحل الأنظمة المعقدة.
ملاحظات هامة:
• عدد الحلول: قد يكون لنظام المعادلات حل واحد، أو عدد لا نهائي من الحلول، أو لا يوجد حل.
• التطبيقات: تستخدم أنظمة المعادلات في العديد من المجالات مثل الهندسة، الفيزياء، الاقتصاد، وغيرها.
• أدوات الحاسوب: تتوفر العديد من البرامج الحاسوبية التي تساعد في حل الأنظمة المعقدة ورسمها بيانيًا.